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L'algèbre de Boole et Portes Logiques



L'Algèbre de Boole à été inventé par George Boole (1815-1864), mathématicien anglais talentueux.



L'algèbre de Boole qu'il exprime en 1854 dans son traité An investigation of the laws of thought (sur les lois de la pensée), est aussi utilisée de nos jours dans la mise au point des machines automatiques (algèbre des circuits).
Son algèbre est basé sur la base 2, en effet habituellement nous utilisons, nous pensons en base 10 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 puis on décale et on recommence -> 10 11 etc ....). La base 2 ne comporte donc que 2 valeurs possibles : 0 ou 1 , ce qui se traduit bien evidemment par un état bas ou un état haut (0v ou 5v).

Cette base fonctionne par puissance de deux, c'est à dire que chaque "bit" correspond au chiffre 2 à la puissance de son rang dans l'expression :



Il n'existe que 2 opérateurs booléens de bases :

- Le OU (OR) noté + (ne pas confondre avec l'addition en système décimal).
- Le ET (AND) noté .

Les autres découlent directement de la manipulation de ces deux opérations.

- LE NON noté comme une barre au dessus de l'élément concerné
- LE OU EXCLUSIF noté + à l'intérieur d'un cercle
- LE OU NON (NOR)noté donc + avec une barre au dessus des éléments
- LE ET NON (NAND) noté donc . avec une barre au dessus des éléments

Vous pouvez voir ci-dessous les symboles normalisés des portes logiques qui représentent les fonctions :


Ces portes et donc ces fontions peuvent se résumer en plusieurs tables de vérité, lesquelles vous permettrons de bien comprendre les relations entres les entrées et la sortie de chaque porte :


Fonction OU (OR)

A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1


Fonction ET (AND)

A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Fonction OU Exclusif (Xor)

A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


Fonction NON
A S
0 1
1 0


Exemple de diagramme pour un composant contenant quatres portes ET :



Il faut connaître aussi le théorême de MORGAN, celui-ci permet de simplifier parfois les expressions logiques :



Nous arrêterons ici l'introduction sur Boole et les portes logiques.