L'algèbre de Boole et Portes Logiques
L'Algèbre de Boole à été inventé par George Boole (1815-1864),
mathématicien anglais talentueux.
L'algèbre de Boole qu'il exprime en 1854 dans son traité An investigation
of the laws of thought (sur les lois de la pensée), est aussi utilisée de nos
jours dans la mise au point des machines automatiques (algèbre des
circuits).
Son algèbre est basé sur la base 2, en effet habituellement nous
utilisons, nous pensons en base 10 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 puis on décale et on
recommence -> 10 11 etc ....). La base 2 ne comporte donc que 2 valeurs
possibles : 0 ou 1 , ce qui se traduit bien evidemment par un état bas ou un
état haut (0v ou 5v).
Cette base fonctionne par puissance de deux, c'est
à dire que chaque "bit" correspond au chiffre 2 à la puissance de son rang dans
l'expression :
Il
n'existe que 2 opérateurs booléens de bases :
- Le OU (OR) noté + (ne pas confondre avec l'addition en système décimal).
-
Le ET (AND) noté .
Les autres découlent directement de la manipulation de
ces deux opérations.
- LE NON noté comme une barre au dessus de l'élément
concerné
- LE OU EXCLUSIF noté + à l'intérieur d'un cercle
- LE OU NON
(NOR)noté donc + avec une barre au dessus des éléments
- LE ET NON (NAND)
noté donc . avec une barre au dessus des éléments
Vous pouvez voir ci-dessous les symboles normalisés des portes logiques qui représentent les fonctions :
Ces portes et donc ces fontions peuvent se résumer en plusieurs tables de vérité, lesquelles vous permettrons de bien comprendre les relations entres les entrées et la sortie de chaque porte :
Fonction OU (OR)
A |
B |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
Fonction ET (AND)
A |
B |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
Fonction OU Exclusif (Xor)
A |
B |
S |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
Fonction NON
Exemple de diagramme pour un composant contenant quatres portes ET :
Il faut connaître aussi le théorême de MORGAN, celui-ci permet de simplifier parfois les expressions logiques :
Nous arrêterons ici l'introduction sur Boole et les portes logiques.